Nous allons le voir dans un premier temps, l’histoire de la modélisation mathématique appliquée à la biologie commence avec un écueil sur les conséquences et les limites de la modélisation qu’il faudra garder en mémoire. Néanmoins, les outils de modélisation et d’abstraction du vivant ont leurs utilités (et leurs limites) et nous verrons différentes applications (démographie, épidémiologie, écologie et science humaine). Les outils de modélisation sont introduits petit à petit pour prendre en compte des hypothèses qui ont manqué à la modélisation de T. R. Malthus ayant conduit à des conclusions faussées. L'hétérogénéité dans les populations étudiées demandera d'introduire une théorie algébrique (Th. de Perron-Frobenius) et analytique (Convergence de solution) de l'évolution de système dynamiques linéaires mais en dimension plus grande que 'un' pour prendre en compte une structuration plus fine de la population et donc de son hétérogénéité. De plus, lorsque la structure n'est plus discrète mais continue, les modèles sont construit à base d'équation aux dérivées partielles et sont, la plupart du temps, non linéaires, pour prendre en compte l'hypothèse de contraintes environnementales (par exemple de ressources finies dans le modèle de Malthus) : modèles de diffusion, de transport, KPP en particulier. Enfin, lorsque la population est de taille trop petite, les effets probabilistes doivent être pris en comptes, car ils ne se moyennent plus. Ce faisant nous introduiront les chaînes de Markov comme outils de modélisation et nous en présenterons l'analyse et la modélisation. Ce premier pas dans les modèles stochastiques fera également le lien avec les modèles déterministes dont ils sont limites : équation de la chaleur comme limite d'un processus gaussien par exemple. Le cours comporte deux parties : I - Systèmes dynamiques II - Modèles spatio-temporels
Le programme est ainsi structuré :