Cet enseignement vise à introduire certains modèles mathématiques d’équations différentielles ordinaires ou d’équations aux dérivées partielles utilisés pour décrire l’évolution de populations, à en dégager les propriétés fondamentales (stabilité, décroissance en temps, principes de comparaison) et à les simuler numériquement.
Ce chapitre présente et analyse les premiers modèles historiques de croissance de population, basés sur une équation différentielle ordinaire (EDO) ou sur un système d'EDO :
. Modèles à 1 espèce : Croissance malthusienne, modèle de croissance limitée de von Bertalanffy, équation logistique. . Modèles à 2 espèces : modèle d'interaction de Lotka-Volterra. Cas particulier du modèle prédateur-proie.
Dans ce chapitre, on étend la notion de solution faible d’une équation elliptique aux équations dites paraboliques, qui sont des équations d’évolution présentant un terme de diffusion spatial. On montre comment construire théoriquement ce type de solution faible. On établit enfin des propriétés qualitatives importantes telles que les principes du maximum.
Ce chapitre introduit les modèles de réaction-diffusion qui généralisent l'équation logistique en autorisant des mouvements au sein de la population. On obtient alors une équation aux dérivées partielles combinant un effet de réaction (déjà présent dans l'EDO logistique) et un effet de diffusion, qui se traduit par la présence de l'opérateur laplacien. On présentera certaines propriétés frappantes de ce type de modèle, comme l'existence de solutions particulières de type fronts ou encore la notion d’instabilité de Turing. Ce type de modèle est très étudié en recherche depuis une vingtaine d'années pour ses applications en médecine (croissance tumorale) et en biologie notamment (diffusion d'espèces telles que le moustique tigre par exemple).