Ordre, chaos, fractales

Le concept de chaos déterministe a profondément changé la façon dont nous abordons la modélisation de nombreux problèmes. Le problème des trois corps de Poincaré en mécanique céleste et les travaux de Lorenz en météorologie en sont deux exemples emblématiques désormais célèbres. Le cours introduit les principales idées et notions théoriques utilisées pour décrire le comportement de ces systèmes dynamiques chaotiques et donc non linéaires. Un petit nombre de degrés de liberté effectifs est très souvent suffisant pour observer le chaos, ce qui permet une analyse mathématique plus accessible. Le domaine d'application était historiquement plutôt celui de la mécanique, mais tous les domaines de la physique et même au-delà (biologie, médecine, économie, sciences sociales) sont concernés, comme cela sera illustré dans le cours ainsi que dans les études de cas.

1. Introduction aux systèmes dynamiques.
2. Stabilité des équilibres: Lyapunov, points fixes, cycles limites, théorème de Poincaré-Bendixon, bifurcations canoniques, attracteur.
3. Fractales: introduction, génération, percolation, dimensions.
4. Sensibilité aux conditions initiales: introduction, exposants de Lyapunov (cartes, systèmes dynamiques), détermination du spectre des exposants, prédiction à un horizon temporel long.
5. Chaos hamiltonien: quelques propriétés, système intégrable, forme canonique, résonances et petits diviseurs, théorème KAM, illustrations avec la mécanique céleste (problème des deux et trois corps, stabilité du système solaire).
6. Contrôle du chaos: motivation, algorithmes et illustrations.
7. Identification et reconstruction à partir de séries temporelles.
8. Conclusion philosophique sur la modélisation.