Méthodes variationnelles pour les EDP

Les méthodes variationnelles ou méthodes d’énergie sont fondamentales dans l’étude des équations aux dérivées partielles (ou EDP) linéaires et surtout non linéaires. Elles reposent sur des estimations des solutions dans des espaces fonctionnels adaptés et sur l’utilisation d’outils puissants d’analyse fonctionnelle. Le but de ce cours est de

• présenter les notions fondamentales d’analyse à la base de ces méthodes
• montrer comment elle peuvent être utilisées pour étudier des EDP stationnaires (dites elliptiques) ainsi que des EDP d’évolution (dites paraboliques). Ces notions seront notamment illustrées par l’étude de divers problèmes issus de la physique mathématique. Pré-requis : il est recommandé d'avoir suivi le cours S8 'Analyse Fonctionnelle' (ou toute formation équivalente).

1. Espaces de Sobolev
   • Notions sur les distributions
   • Théorèmes de trace et de densité
2. Problèmes aux limites elliptiques linéaires
   • Méthodes variationnelles
   • Problèmes aux valeurs propres
3. Problèmes elliptiques non linéaires
   • Topologie faible
   • Méthode de Galerkin
4. Problèmes paraboliques
   • Fonctions à valeurs vectorielles
   • Formulation variationnelle d'un problème modèle